Shannon et la théorie de l’information

Olivier Rioul

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Nous fêtions en 2016 le centenaire de la naissance de Claude Shannon, un mathématicien et ingénieur américain considéré comme le “père de l’Âge de l’information”. Son nom ne vous dit peut-être pas grand chose : Hollywood a glorifié d’autres héros scientifiques comme Alan Turing ou John Nash. Shannon, lui, a eu une vie rangée, modeste… et surtout ludique : adepte du monocycle et du jonglage, il s’est amusé à construire des machines plus ou moins loufoques. Dans le même temps, il a fait des avancées théoriques décisives dans des domaines aussi divers que les circuits logiques, la cryptographie, l’intelligence artificielle, l’investissement boursier, le wearable computing… et surtout, la théorie de l’information. Son article fondateur de 1948 rassemble tellement d’avancées fondamentales et de coups de génie que Shannon est aujourd’hui le héros de milliers de chercheurs, loué presque comme une divinité. On peut dire, sans exagérer, que c’est le mathématicien dont les théorèmes ont rendu possible le monde du numérique que nous connaissons aujourd’hui.

Dans cet exposé on décrit ses contributions les plus marquantes : le paradigme de Shannon; les modèles probabilistes des données; l’unité logarithmique d’information; les limites de performances; l’entropie, l’entropie relative et la définition mathématique de l’information; la technique du codage aléatoire; la formule de capacité. On va jusqu’à présenter les idées des démonstrations des premier et second théorèmes de Shannon avec des moyens élémentaires. Si le temps le permet, on abordera une preuve récente de l’inégalité de la puissance entropique dont Shannon a eu l’intuition géniale.

Biographie de l’orateur :

Olivier Rioul (PhD, HDR) est ingénieur général du Corps des Mines, professeur à Télécom ParisTech et à l’Ecole Polytechnique. Ses activités de recherche en mathématiques appliquées sont consacrées à diverses applications parfois non conventionnelles de la théorie de l’information, comme les inégalités en statistiques, la sécurité physique des systèmes embarqués et la psychologie expérimentale dans les interactions homme-machine. Il enseigne la théorie de l’information dans plusieurs grandes écoles depuis vingt ans et a publié un livre qui est devenu une référence française du domaine et sera bientôt réédité.

Voir aussi les sites http://centenaire-shannon.cnrs.fr et http://shannon100.com.

Optimisation topologique de structures et fabrication additive

Grégoire Allaire

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Grégoire Allaire est un spécialiste d’analyse numérique et d’optimisation.

Percolation des domaines nodaux aléatoires

Damien Gayet

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Damien Gayet est un géomètre qui s’intéresse à des questions de sous-variétés ou de sous-ensembles aléatoires reliés aux fonctions propres de l’opérateur de Laplace sur une variété riemannienne.

Colloquium: Josselin Garnier

Josselin Garnier

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Josselin Garnier est un spécialiste de la propagation des ondes dans des milieux aléatoires. Ces travaux le mène à des applications aux techniques d’imagerie.

Laurent Schwartz et le colloque d’analyse harmonique Nancy 1947

Anne-Sandrine Paumier

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Le premier colloque international du CNRS en mathématiques organisé après la guerre est celui d’analyse harmonique de Nancy, en juin 1947. C’est lors de ce colloque que Schwartz va exposer pour la première fois ses distributions sphériques (aujourd’hui distributions tempérées). Cet article montre comment le colloque participe à la vie collective des mathématiques, et examine en quoi ce colloque en particulier témoigne du dynamisme des mathématiques à Nancy à cette date et est important pour les mathématiques et la carrière de Laurent Schwartz.

Panorama des processus SLE et dimension du « backbone »

Christophe Garban

photoWJe commencerai par un panorama des processus SLE. Ces processus ont été introduits en 1999 par Oded Schramm dans le but de décrire les interfaces qui apparaissent à la transition de phase de modèles bi-dimensionnels (comme par exemple la percolation ou le modèle d’Ising, modèles que j’introduirai au début de l’exposé). Ces processus peuvent être vus comme une généralisation probabiliste très naturelle d’un objet introduit dans les années 1920 par Karl Löwner pour répondre à la conjecture de Bieberbach. Après avoir motivé l’introduction de ces processus, j’expliquerai comment s’en servir pour identifier/calculer les dimensions fractales d’objets naturels (comme les grandes composantes connexes) qui apparaissent à la transition de phase des modèles bi- dimensionnels.

Modèles mathématiques de réaction-diffusion : anciens et nouveaux défis

Michel Pierre

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Dans son article pionnier sur la morphogénèse animale et végétale publié en 1952, Alan Turing remarqua que la prise en compte de diffusion spatiale dans un processus réactif stable pouvait paradoxalement le déstabiliser, mais du même coup enrichir considérablement son comportement et contribuer à expliquer la variété des motifs spatiaux observés dans la nature. Il s’avère que l’ajout de diffusion dans les modèles mathématiques de réaction- diffusion correspondants peut même générer des explosions en temps fini et cette fois mettre en cause leur validité. Leur analyse soulève des questions d’existence globale en temps et de comportement asymptotique qui sont encore largement ouvertes aujourd’hui et pertinentes pour bien d’autres applications. Nous présenterons les résultats connus et les défis restants.

Structures modérées en topologie, géométrie et théorie des nombres

François Loeser

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À l’origine, les structures modérées (géométrie o-minimale) ont constitué un cadre général permettant d’exclure certains objets  »pathologiques » et de disposer d’un formalisme agréable et flexible dans lequel les objets ont des propriétés topologiques et géométriques raisonnables. Plus récemment elles ont permis d’effectuer des avancées spectaculaires en théorie des nombres. Nous présenterons un panorama général de ces questions, en mettant l’accent principal sur les structures réelles tout en mentionnant des progrès récents dans d’autres contextes comme celui de la géométrie non- archimédienne.

Séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables

Driss Essouabri

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Les fonctions zêta à une ou plusieurs variables sont des objets importants qui apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, l’informatique théorique, la théorie des graphes, les équations aux dérivées partielles, la géométrie fractale, etc. L’étude de ces fonctions est transversale à la subdivision traditionnelle en disciplines mathématiques : algèbre, analyse, topologie, géométrie, combinatoire qui sont toutes nécessaires pour les étudier.

Dans cet exposé, nous présenterons un aperçu général de ce sujet et des méthodes utilisées pour étudier plusieurs classes de séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables. Nous donnerons en particulier plusieurs résultats les concernant (prolongement méromorphe, localisation des singularités, valeurs spéciales, etc.) Nous donnerons aussi quelques applications (en théorie des nombres, en géométrie arithmétique, en géométrie fractale, etc.) pour justifier l’étude de ces différentes classes.

Inégalités fonctionnelles optimales, diffusions non linéaires et brisure de symétrie

Jean Dolbeault

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Par des méthodes variationnelles, il est possible de donner un critère optimal pour la brisure de symétrie dans une sous-famille des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Le but de l’exposé est d’introduire ce résultat, obtenu récemment en collaboration avec Maria J. Esteban et Michael Loss.

La méthode permet de relier les résultats de rigidité pour des EDP elliptiques non-linéaires aux méthodes dites du « carré du champ » en théorie des semi-groupes, et repose sur l’utilisation de fonctionnelles d’entropies pour des équations de diffusion non-linéaires.

Le colloquium permettra donc de faire le lien entre différents points de vue, et de replacer les questions de symétrie et de brisure de symétrie dans un contexte plus large.

Institut Elie Cartan de Lorraine