Rationalité des variétés algébriques

Olivier Debarre (ENS Paris)

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La définition de la rationalité d’une variété algébrique X définie sur un corps K peut être donnée de deux façons.

La première, géométrique, est de dire que la variété X est très proche d’être un space affine K^n, c’est-à-dire qu’on peut  paramétrer, de façon presque biunivoque, a variété X par K^n (ici, n est la dimension de X).

La seconde, algébrique, est de demander que le corps des fonctions rationnelles sur X soit une extension transcendante pure de K, isomorphe donc au corps des fractions rationnelles K(T_1,…,T_n)$ en n indéterminées.

La question de décider si une variété algébrique donnée (par exemple par des équations polynomiales) est rationnelle ou non est en général très difficile mais est plus accessible du point de vue géométrique.

Après avoir présenté des exemples classiques, je parlerai de résultats spectaculaires obtenus récemment sur le comportement de la rationalité dans une famille de variétés (X_t) (l’ensemble des t pour lesquels X_t est rationnelle est-il ouvert, fermé, etc. ?).

Almost homogeneous Schrödinger operators

Jan Derezinsky

(Université de Varsovie)

Abstract: First I will describe a certain natural holomorphic family of closed operators with interesting spectral properties. These operators can be fully analyzed using just trigonometric functions. Then I will discuss one- dimensional Schrödinger operators with inverse square potential and general boundary conditions, which I studied recently with S.Richard. Even though their description involves Bessel and Gamma functions, they turn out to be equivalent to the previous family.

Some operators that I will describe are homogeneous – they get multiplied by a constant after a change of the scale. In general, their homogeneity is weakly broken-scaling and induces a simple but nontrivial ow in the parameter space. One can say (with some exaggeration) that they can be viewed as « toy models of the renormalization group ».

Based on

• J.D. Laurent Bruneau and Vladimir Georgescu: Homogeneous Schrödinger operators on half-line, Annales Henri Poincaré 12 (2011), 547-590 ;

• J.D., Serge Richard: On Schrödinger operators with inverse square potentials on the half-line, Annales Henri Poincaré 18 (2017) 869-928;

• J.D.: Homogeneous rank one perturbations, to appear in Annales Henri Poincaré

Matrices aléatoires – Quelques aspects

Djalil Chafaï (Université Paris-Dauphine)

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Résumé : 

Cet exposé présente quelques aspects de l’étude de modèles de matrices aléatoires, notamment le comportement des valeurs propres en grande dimension. Un effort particulier est fait pour mettre en avant la structure et les méthodes, entre analyse, probabilités, et physique statistique.

 

Suites de Fibonacci aléatoires

Élise Janvresse (Université de Picardie)

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Résumé : Il est bien connu que les suites de Fibonacci croissent exponentiellement vite. En 2000, Viswanath a introduit les suites de Fibonacci aléatoires, définies par la relation de récurrence suivante :

F(n+1)= F(n)±F(n-1)

où le signe + ou – est donné par une suite de tirages à pile ou face.
Nous nous intéresserons dans cet exposé à la croissance des suites de Fibonacci aléatoires et de leurs généralisations.

 

Élise Janvresse est une spécialiste de théorie ergodique et probabilités. Après s’être intéressée au comportement asymptotique des systèmes de particules, son spectre scientifique s’est élargi aux suites de Fibonacci aléatoires, loi de Benford, marches aléatoires sur la sphère et le groupe orthogonal, applications au traitement d’images cérébrales, suspensions de Poisson et systèmes dynamiques en mesure infinie parmi d’autres sujets.

Elle est aussi une excellente vulgarisatrice, auteure de plusieurs livres, exposés grand public et articles dans de nombreux magazines.

Inégalités de Strichartz

Gilles Lebeau (Université de Nice)

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Résumé de l’exposé. Dans l’article « Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions of Wave Equations. Duke Math. Journal, 44, 1977 », R. Strichartz a introduit les inégalités qui portent son nom, pour résoudre certaines équations d’ondes non linéaires. Elles sont devenues un outil fondamental pour l’étude du problème de Cauchy pour les équations d’évolutions dispersives non linéaires (ondes, Schrödinger,…) et en analyse harmonique pour l’étude des estimations Lp des projecteurs spectraux. Nous présenterons ces inégalités, ainsi que des résultats récents (en collaboration avec R. Lascar, O. Ivanovici et F. Planchon) dans des domaines bornés, et certains problèmes ouverts.

De l’approche à l’équilibre thermodynamique : quels mécanismes dynamiques ?

Stéphane de Bièvre
(Université de Lille)

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Que les systèmes macroscopiques isolés tendent vers un état d’équilibre thermodynamique est une loi de base de la thermodynamique. Expliquer comment et pourquoi ceci se passe en termes de la dynamique sous-jacente des constituents de ces systèmes reste un problème difficile et largement ouvert et activement étudié. Après avoir posé le problème, je passerai en revue quelques résultats récents sur des systèmes modèle simples.

Microlocal methods for chaotic dynamics

Maciej Zworski (University of California, Berkeley)

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Maciej Zworski est un spécialiste des aspects mathématiques de la mécanique quantique. Il s’intéresse en particulier à la théorie de la diffusion (scattering) et à l’analyse micro-locale.

Résumé : 

Dynamical zeta functions were introduced by Selberg, Artin–Mazur, Smale and Ruelle. The Ruelle zeta function is defined by replacing primes in the Euler product of the Riemann zeta functions by exponentials of lengths of closed trajectories. Zeta functions, once meromorphically continued, contain information about the distribution of these lengths, the rate of decay to equilibrium and about other properties of the system. Conjectured by Smale in 1967, the meromorphy was proved in 2012 by Giulietti–Liverani–Pollicott for Anosov flows and by Dyatlov–Guillarmou for a class of Axiom A flows in 2014. I will explain a simple microlocal proof of the Anosov case given with Dyatlov in 2013: the key components are a microlocal framework introduced by Faure–Sjöstrand 2011, radial propagation results of Melrose 1994, a trace formula of Atiyah–Bott 1967 and Guillemin 1977 and some basic wave front set properties.


As a more recent application I will present a result obtained with Dyatlov: for compact surfaces with Anosov geodesic flows, Ruelle zeta function at 0 has a pole of multiplicity given by the Euler characteristic. In articular, the lengths spectrum (the set of the lenghts of closed geodesics) determines the genus.

 

Une variété hyperbolique qui fibre sur le cercle

Nicolas Bergeron

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Résumé : En 1979 T. Jorgensen surprend les géomètres en construisant une variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle. Trente trois ans plus tard I. Agol, répondant positivement à une question de W. Thurston et en se basant sur des travaux de D. Wise, démontre que toute variété hyperbolique de dimension 3 possède en fait un revêtement fini qui fibre sur le cercle.

Dans cet exposé je commencerai par construire une exemple explicite de variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle, en suivant une idée de Thurston. La construction est élémentaire et peut être rendue complètement visuelle. L’exposé sera ainsi constitué d’une succession de petits films, réalisés avec Jos Leys. En commentant ces films j’essaierai d’expliquer comment certaines des idées derrière cette construction d’une variété hyperbolique fibrée sont à la base des travaux d’Agol et Wise.
L’exposé sera précédé du thé du laboratoire à 16h30 et pour ceux qui le souhaitent, il y aura un repas en ville (participation de 20€ par personne). Si vous souhaitez participer à ce repas, merci de me prévenir avant vendredi 16 à midi.

Simulation moléculaire et mathématiques

Tony Lelièvre

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Résumé : La simulation moléculaire consiste à modéliser la matière à l’échelle des atomes. En utilisant ces modèles, on espère obtenir des simulations plus précises et plus prédictives, et ainsi avoir accès à une sorte de microscope numérique, permettant de scruter les phénomènes moléculaires à l’origine des propriétés macroscopiques. Les perspectives applicatives sont innombrables: prédiction des structures des protéines, conception de nouveaux médicaments ou de nouveaux matériaux, simulation de la dynamique des défauts dans un matériau, etc. La simulation moléculaire occupe aujourd’hui une place importante dans de nombreux domaines scientifiques (biologie, chimie, physique) au même titre que les développements théoriques et les expériences.

Malgré la formidable explosion de la puissance des ordinateurs, il reste difficile de simuler suffisamment d’atomes sur des temps suffisamment longs pour avoir accès à toutes les quantités d’intérêt. Les mathématiques jouent un rôle fondamental à la fois pour dériver rigoureusement des modèles réduits moins coûteux, et pour analyser et améliorer des algorithmes permettant de relever les défis posés par les différences d’échelles en temps et en espace entre le modèle atomique et notre monde macroscopique.

L’objectif de l’exposé sera de présenter les modèles utilisés en dynamique moléculaire ainsi que quelques questions mathématiques soulevées par leur simulation.

Biographie de l’auteur : Tony Lelièvre est chercheur en mathématiques appliquées, professeur à l’Ecole des Ponts ParisTech et à l’Ecole Polytechnique. Il est membre de l’équipe Matherials (INRIA Paris). Ses recherches portent principalement sur l’analyse mathématique de modèles pour les matériaux, et des méthodes numériques associées. Il coordonne le projet ERC MsMath sur la simulation moléculaire.

Shannon et la théorie de l’information

Olivier Rioul

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Nous fêtions en 2016 le centenaire de la naissance de Claude Shannon, un mathématicien et ingénieur américain considéré comme le “père de l’Âge de l’information”. Son nom ne vous dit peut-être pas grand chose : Hollywood a glorifié d’autres héros scientifiques comme Alan Turing ou John Nash. Shannon, lui, a eu une vie rangée, modeste… et surtout ludique : adepte du monocycle et du jonglage, il s’est amusé à construire des machines plus ou moins loufoques. Dans le même temps, il a fait des avancées théoriques décisives dans des domaines aussi divers que les circuits logiques, la cryptographie, l’intelligence artificielle, l’investissement boursier, le wearable computing… et surtout, la théorie de l’information. Son article fondateur de 1948 rassemble tellement d’avancées fondamentales et de coups de génie que Shannon est aujourd’hui le héros de milliers de chercheurs, loué presque comme une divinité. On peut dire, sans exagérer, que c’est le mathématicien dont les théorèmes ont rendu possible le monde du numérique que nous connaissons aujourd’hui.

Dans cet exposé on décrit ses contributions les plus marquantes : le paradigme de Shannon; les modèles probabilistes des données; l’unité logarithmique d’information; les limites de performances; l’entropie, l’entropie relative et la définition mathématique de l’information; la technique du codage aléatoire; la formule de capacité. On va jusqu’à présenter les idées des démonstrations des premier et second théorèmes de Shannon avec des moyens élémentaires. Si le temps le permet, on abordera une preuve récente de l’inégalité de la puissance entropique dont Shannon a eu l’intuition géniale.

Biographie de l’orateur :

Olivier Rioul (PhD, HDR) est ingénieur général du Corps des Mines, professeur à Télécom ParisTech et à l’Ecole Polytechnique. Ses activités de recherche en mathématiques appliquées sont consacrées à diverses applications parfois non conventionnelles de la théorie de l’information, comme les inégalités en statistiques, la sécurité physique des systèmes embarqués et la psychologie expérimentale dans les interactions homme-machine. Il enseigne la théorie de l’information dans plusieurs grandes écoles depuis vingt ans et a publié un livre qui est devenu une référence française du domaine et sera bientôt réédité.

Voir aussi les sites http://centenaire-shannon.cnrs.fr et http://shannon100.com.

Institut Elie Cartan de Lorraine