Percolation de premier passage et sous-additivité

Marie Theret (Université Paris Nanterre)

 
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Considérons le graphe de sommets les points de Z^d muni des arêtes reliant les sommets à distance euclidienne 1. Le modèle de percolation de premier passage sur Z^d consiste à associer aux arêtes de ce graphe une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi, à valeurs positives. La variable associée à une arête représente le temps nécessaire pour traverser l’arête, ce qui permet de modéliser des phénomènes de propagation (propagation d’une information dans un réseau social, d’une maladie au sein d’une population, de l’eau à l’intérieur d’une roche poreuse). Nous présenterons une propriété qui joue un rôle central dans l’étude de ce modèle : la sous-additivité.

Affiche colloquium IECL_12112019

Tores plats, sphères réduites et fractales lisses.

Vincent Borrelli (Université de Lyon)

 

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Au milieu des années 50, John Nash énonce un théorème de « plongements isométriques » dont les conséquences sont déconcertantes. Il implique en effet que l’on peut réaliser un tore plat dans l’espace ambiant c’est-à-dire identifier les bords opposés d’une feuille de papier sans créer le moindre pli ni la moindre intersection. Il implique également l’existence d’une application qui envoie la sphère unité à l’intérieur d’une boule de rayon arbitrairement petit tout en préservant les longueurs des courbes tracées à sa surface. Ces objets, appelés tore plat 3D et sphère réduite, sont restés longtemps mystérieux jusqu’à ce qu’une théorie inventée par Mikhail Gromov, l’intégration convexe, ouvre la voie à leur construction explicite et à leur visualisation. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à cette construction ainsi qu’à la structure géométrique en « fractale lisse » qu’elle a révélée.

Affiche colloquium IECL_11062019

Pseudodifferential operators of Toeplitz type

Joerg Seiler (Turin)

 

There are many examples of calculi/algebras of pseudodifferential operators that have been designed to analyze different sorts of elliptic partial differential operators, in particular to characterize their Fredholm property and regularity properties of solutions of associated pde’s in suitable function spaces, using a parametrix construction within the algebra. This ranges from  pseudodifferential operators on smooth closed manifolds (where ellipticity of an operator is characterized by the invertibility of its homogeneous principal symbol) to operator algebras for singular manifolds like manifolds with conical points, edges, and corners (where ellipticity is characterized by a hierarchy of principal symbols associated with the stratification of the manifold). Also boundary value problems can be treated in such a way. L. Boutet de Monvel developed a calculus for smooth manifolds with boundary which allows to treat classical boundary conditions like Dirichlet or Neumann conditions. Ellipticity in this calculus corresponds to the classical Shapiro-Lopatinskij ellipticity. This calculus has been extended by Schulze to also cover so-called global projection conditions, for example spectral boundary conditions for Dirac operators.

It will be discussed how parts of Schulze’s construction can be obtained in a general framework of  so-called operators of Toeplitz type associated with a given algebra of pseudodifferential operators and that a corresponding approach also applies to complexes of operators. Fredholm property in this context means finite dimension of all associated cohomology spaces. For smooth manifolds with boundary it turns out that every complex of differential operators, which is fibre-wise exact on the level of homogeneous principal symbols, can be complemented with boundary conditions (i.e., a complex-isomorphism to a complex of operators on the boundary) in such a way that the resulting mapping cone is a Fredholm complex. There is a topological obstruction which decides whether these boundary conditions can be chosen from the usual Boutet de Monvel calculus or when they must involve global projection conditions. This extends and makes precise results due to A. Dynin. Parts of this talk are joint work with B.-W. Schulze.

Assistants de preuve : un outil pour les mathématiciens ?

Sébastien Gouëzel

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Les assistants de preuve sont des outils informatiques qui permettent de formaliser et vérifier tous les détails d’une preuve. Alors qu’ils sont développés et utilisés depuis longtemps par des informaticiens (notamment pour prouver qu’un programme fait bien ce qu’il attend de lui), leur adoption par des mathématiciens est beaucoup plus récente. Je décrirai à travers mon expérience personnelle ce que ces outils permettent déjà de faire, notamment pour des résultats niveau recherche, mais aussi les difficultés que pose leur utilisation pour un mathématicien. Et j’espère aussi dissiper quelques fantasmes !

Dynamiques sur les graphes aléatoires unimodulaires.

François Baccelli (ENS Paris)

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Résumé :

L’exposé portera sur les dynamiques déterministes sur des graphes aléatoires infinis. Une telle dynamique peut être vue comme un ensemble de règles de navigation sur les noeuds du graphe, qui sont des fonctions de la seule géométrie locale du graphe enraciné. Nous nous concentrerons sur des graphes aléatoires qui sont unimodulaires (vérifient les équations de transport de masse) et sur les règles de navigation qui sont covariantes (invariantes par isomorphismes de graphes enracinés).

Nous donnerons une classification de ces dynamiques basée sur les propriétés de leurs variétés stables. Cette classification est fondée sur l’identification d’une famille d’arbres aléatoires critiques dont les propriétés fondamentales seront présentées.

Ces notions seront illustrées par des exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, de la théorie des graphes aléatoires infinis et de celle des processus aléatoires.

Travail en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.

Espaces de fréquences pour le groupe d’Heisenberg

Jean-Yves Chemin (Université Pierre et Marie Curie)

 

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Résumé:  Dans le cas des groupes commutatifs, l’espace des fréquences, c’est-à-dire l’espace de la variable de Fourier est l’ensemble des caractères, ou l ‘une de ses paramétrisations. Dans le cas familier de l’analyse sur $\mathbf{R}^n$, il s’agit de l’ensemble des formes linéaires sur $\mathbf{R}^n$. Rien de tel dans le cadre des groupes non commutatifs où l’on doit utiliser les représentations. Après avoir rappeler les points essentiels de cette théorie,  nous expliquerons les problèmes qu’elle pose et définirons la transformation de Fourier comme fonction sur un espace métrique complet  singulier  explicite.

Primes in arithmetic progressions: The Riemann Hypothesis – and beyond!

James Maynard (University of Oxford)

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James Maynard est un théoricien des nombres, professeur à l’université d’Oxford. Il s’est fait connaître en donnant une nouvelle preuve du théorème de Zhang concernant l’infinité des paires de nombres premiers séparés d’une quantité bornée.

En 2016, il a résolu une conjecture d’Erdös sur les grands écarts entre nombres premiers. C’est la conjecture résolue pour laquelle Erdös avait offert le prix le plus élevé.

Abstract: One of the oldest problems about prime numbers is asking how many primes there are of a given size in an arithmetic progression. Dirichlet’s famous theorem shows that there are large primes in the progression unless there is an obvious reason why not, but more refined questions lead quickly to statements equivalent to versions of the Riemann Hypothesis, which unfortunately remains unsolved.

Orbit method and unipotent representations

Chengbo Zhu (National University of Singapore)

 

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Abstract: A fundamental problem in representation theory is to determine the unitary dual of a given Lie group G, namely the set of equivalent classes of irreducible unitary representations of G. A principal idea, originated in a famous paper of A. A. Kirillov in 1962, is that there is a close connection between irreducible unitary representations of G and the orbits of G on the dual of its Lie algebra. This is known as the orbit method (or the philosophy of coadjoint orbits).

In this talk, I will describe basic ideas of the orbit method as well as a recent development on the problem of unipotent representations, which is to associate unitary representations to nilpotent coadjoint orbits and which is the hardest part of the orbit method. We solve this problem for real classical groups, by profitably combining analytic ideas of R. Howe on theta lifting and algebro-geometric ideas of D. A. Vogan, Jr. on associate varieties. This is joint work with J.-J. Ma and B. Sun.

The talk is aimed at a general audience of mathematicians and graduate students.

Rationalité des variétés algébriques

Olivier Debarre (ENS Paris)

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La définition de la rationalité d’une variété algébrique X définie sur un corps K peut être donnée de deux façons.

La première, géométrique, est de dire que la variété X est très proche d’être un space affine K^n, c’est-à-dire qu’on peut  paramétrer, de façon presque biunivoque, a variété X par K^n (ici, n est la dimension de X).

La seconde, algébrique, est de demander que le corps des fonctions rationnelles sur X soit une extension transcendante pure de K, isomorphe donc au corps des fractions rationnelles K(T_1,…,T_n)$ en n indéterminées.

La question de décider si une variété algébrique donnée (par exemple par des équations polynomiales) est rationnelle ou non est en général très difficile mais est plus accessible du point de vue géométrique.

Après avoir présenté des exemples classiques, je parlerai de résultats spectaculaires obtenus récemment sur le comportement de la rationalité dans une famille de variétés (X_t) (l’ensemble des t pour lesquels X_t est rationnelle est-il ouvert, fermé, etc. ?).

Almost homogeneous Schrödinger operators

Jan Derezinsky

(Université de Varsovie)

Abstract: First I will describe a certain natural holomorphic family of closed operators with interesting spectral properties. These operators can be fully analyzed using just trigonometric functions. Then I will discuss one- dimensional Schrödinger operators with inverse square potential and general boundary conditions, which I studied recently with S.Richard. Even though their description involves Bessel and Gamma functions, they turn out to be equivalent to the previous family.

Some operators that I will describe are homogeneous – they get multiplied by a constant after a change of the scale. In general, their homogeneity is weakly broken-scaling and induces a simple but nontrivial ow in the parameter space. One can say (with some exaggeration) that they can be viewed as « toy models of the renormalization group ».

Based on

• J.D. Laurent Bruneau and Vladimir Georgescu: Homogeneous Schrödinger operators on half-line, Annales Henri Poincaré 12 (2011), 547-590 ;

• J.D., Serge Richard: On Schrödinger operators with inverse square potentials on the half-line, Annales Henri Poincaré 18 (2017) 869-928;

• J.D.: Homogeneous rank one perturbations, to appear in Annales Henri Poincaré

Institut Elie Cartan de Lorraine