Georges Skandalis

Elek et Szabo ont démontré que les groupes sofiques (de Gromov) vérifient la conjecture de Lück. Nous présenterons un travail en collaboration avec G. Balci qui donne une définition des groupes sofiques et une démonstration de ce résultat à l’aide de traces sur la \(C^∗\)-algèbre du groupe libre.

Si le temps le permet, nous esquisserons les liens de la conjecture de Lück avec une conjecture (ou plutôt un problème) d’Atiyah.

Présenterons les principaux objets :

–  Gromov a introduit une classe de groupes (dénombrables) appelés groupes sofiques qui

sont en un sens précis bien approchables par des groupes de permutation \(\mathfrak{S}_n\). Précisons que l’on ne connait pas pour le moment de groupes non sofiques et que tous les groupes profinis ou moyennables sont sofiques.
–  La conjecture de Lück pour un groupe \(\Gamma\) prédit que pour \(x\) dans l’anneau \(\mathbf{Z}\Gamma\) d’ungroupe \(\Gamma\), le « produit continu » des valeurs propres non nulles de \(\)x∗x\(\) est supérieur à 1.