Andreï Teleman

Une surface de Klein est une surface de Riemann \(Y\) munie d’une involution anti-holomorphe \(\iota\). Une surface de Klein est donc un espace Réel au sens de Atiyah. Dans la théorie classique (sans involution) on obtient facilement une famille d’opérateurs de Dirac sur  \(Y\) paramétrée par \(Pic^0(Y)\), qui est un tore complexe de dimension (complexe) \(g(X)\).  Cette famille d’opérateurs et son fibré en droites déterminant ont été étudiés intensivement  dans le littérature. Dans le cas Réel (le cas d’une surface de Klein) l’involution fixée \(\iota\) sur \(Y\)  induit une involution anti-holomorphe  \(\hat\iota\) de \(Pic^0(Y)\). En plus, la famille d’opérateurs de Dirac considérée est, elle aussi, munie naturellement d’une structure Réelle. Il en résulte que le fibré déterminant (qui est un fibré holomorphe en droites sur \(Pic^0(X)\)) va hériter une structure Réelle au sense de Atiyah.

Le lieu des points invariants dans l’espace total du fibré déterminant sera donc un fibré en droite réel (avec minuscule!) sur le lieu fixe \(Pic^0(Y)^{\hat\iota}\) de \(Pic^0(Y)\).

L’exposé va traiter un problème très naturel (mais difficile): déterminer explicitement la casse d’isomorphisme de ce fibré en droite réel, en particulier sa classe de Stiefel-Whitney \(w_1\).