Catégorie : Amphithéâtre Charles Hermite (Metz)

Optimisation topologique de structures et fabrication additive

Grégoire Allaire

Unknown

Grégoire Allaire est un spécialiste d’analyse numérique et d’optimisation.

Sur le fibré en droites déterminant d’une famille Réelle d’opérateurs de Dirac sur une surface de Klein

Andreï Teleman

Une surface de Klein est une surface de Riemann \(Y\) munie d’une involution anti-holomorphe \(\iota\). Une surface de Klein est donc un espace Réel au sens de Atiyah. Dans la théorie classique (sans involution) on obtient facilement une famille d’opérateurs de Dirac sur  \(Y\) paramétrée par \(Pic^0(Y)\), qui est un tore complexe de dimension (complexe) \(g(X)\).  Cette famille d’opérateurs et son fibré en droites déterminant ont été étudiés intensivement  dans le littérature. Dans le cas Réel (le cas d’une surface de Klein) l’involution fixée \(\iota\) sur \(Y\)  induit une involution anti-holomorphe  \(\hat\iota\) de \(Pic^0(Y)\). En plus, la famille d’opérateurs de Dirac considérée est, elle aussi, munie naturellement d’une structure Réelle. Il en résulte que le fibré déterminant (qui est un fibré holomorphe en droites sur \(Pic^0(X)\)) va hériter une structure Réelle au sense de Atiyah.

Le lieu des points invariants dans l’espace total du fibré déterminant sera donc un fibré en droite réel (avec minuscule!) sur le lieu fixe \(Pic^0(Y)^{\hat\iota}\) de \(Pic^0(Y)\).

L’exposé va traiter un problème très naturel (mais difficile): déterminer explicitement la casse d’isomorphisme de ce fibré en droite réel, en particulier sa classe de Stiefel-Whitney \(w_1\).

Groupes sofiques et conjecture de Lück – d’après Elek et Szabo

Georges Skandalis

Elek et Szabo ont démontré que les groupes sofiques (de Gromov) vérifient la conjecture de Lück. Nous présenterons un travail en collaboration avec G. Balci qui donne une définition des groupes sofiques et une démonstration de ce résultat à l’aide de traces sur la \(C^∗\)-algèbre du groupe libre.

Si le temps le permet, nous esquisserons les liens de la conjecture de Lück avec une conjecture (ou plutôt un problème) d’Atiyah.

Présenterons les principaux objets :

–  Gromov a introduit une classe de groupes (dénombrables) appelés groupes sofiques qui

sont en un sens précis bien approchables par des groupes de permutation \(\mathfrak{S}_n\). Précisons que l’on ne connait pas pour le moment de groupes non sofiques et que tous les groupes profinis ou moyennables sont sofiques.
–  La conjecture de Lück pour un groupe \(\Gamma\) prédit que pour \(x\) dans l’anneau \(\mathbf{Z}\Gamma\) d’ungroupe \(\Gamma\), le « produit continu » des valeurs propres non nulles de \(\)x∗x\(\) est supérieur à 1.

Aspects de la théorie quantique des champs en espace-temps courbe

Christian Gérard

La théorie quantique des champs est formulée d’habitude sur l’espace-temps plat de Minkowski. L’extension de ce cadre à des espaces-temps généraux permet de mettre en lumière de nouveaux phénomènes quantiques qui surviennent en présence d’un champ gravitationnel fort.

Nous présenterons tout d’abord le cadre algébrique de la théorie des champs libres en espace-temps courbe, en traitant le cas modèle d’un champ de Klein-Gordon.
Dans une deuxième partie nous aborderons les difficultés nouvelles dues à l’absence d’un groupe d’isométries sur un espace-temps courbe, qui se traduisent physiquement par l’absence d’un état de vide naturel. Nous illustrerons ces difficultés par deux effets emblématiques de la théorie des champs en espace-temps courbe, l’effet Unruh et l’effet Hawking.

Enfin nous décrirons les avancées relativement récentes dans la caractérisation d’états physiquement raisonnables en espace-temps courbe, basées sur l’utilisation de l’analyse microlocale.

Cloaking: Science meets Science Fiction

Gunther Uhlmann

Invisibility has been a subject of human fascination for millenia, from the Greek legend of Perseus versus Medusa to the more recent The Invisible Man, The Invisible Woman, Star Trek and Harry Potter, among many others.

Over the years, there have been occasional scientific prescriptions for invisibility in various settings but the route to cloaking that has received the most attention has been transformation optics. To achieve invisibility one can design materials that would steer light around a hidden region, returning it to its original path on the far side. Not only would observers be unaware of the contents of the hidden region, they would not even be aware that something was being hidden. We will recount some of the history of invisibility and transformation optics.

Institut Elie Cartan de Lorraine