Catégorie : Salle de conférences (Nancy) (Page 3 sur 10)

Min-Max theory for the area functional and applications

Fernando Codá Marques

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Motivated by a foundational question of Poincaré, Birkhoff used min-max methods to prove the existence of a closed geodesic in any Riemannian two-sphere. This has inspired great developments in the field, like the Three Geodesics Theorem of Lusternik-Schnirelmann and the Almgren-Pitts min-max theory of minimal surfaces.

In this talk I will give an overview of these ideas and of applications to geometry, including recent results in collaboration with Andre Neves that lead to the existence of infinitely many minimal hypersurfaces in positive Ricci curvature.

Simulation numérique de glaciers alpins sur plusieurs siècles

Marco Picasso

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Depuis 1850, le retrait des glaciers a été observé, d’abord avec soulagement, puis avec inquiétude. Un modèle numérique permettant de simuler le retrait des glaciers alpins sur plusieurs siècles sera présenté. La glace est considérée comme un fluide incompressible, la viscosité étant fonction du gradient de vitesse. Le domaine de glace est décrit par une fonction discontinue qui satisfait une équation de transport contenant un terme source qui tient compte des données climatiques.

Les simulations numériques de 1850 à 2000 ont été comparées avec les observations passées. Des simulations numériques de 2000 à 2100 ont été obtenues, en fonction de divers scénarios climatiques.

La question de la reconstruction inverse des données et de la quantification de l’incertitude sera abordée.

Le lemme fondamental : Un nouveau théorème de densité des intégrales orbitales

Pierre-Henri Chaudouard

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Les intégrales orbitales jouent un rôle central dans l’analyse harmonique des groupes réductifs réels et p-adiques. Leurs variantes globales, sur les corps de nombres ou les corps de fonctions, apparaissent dans la formule des traces d’Arthur-Selberg et sont au coeur de la partie endoscopique du programme de Langlands.

Dans l’exposé, on expliquera que, sur les corps de fonctions, ces objets peuvent
s’interpréter, à l’aide de la vibration de Hitchin, comme des nombres de points sur
les corps finis de certaines variétés algébriques. Cela nous permettra de formuler
un théorème de densité des intégrales orbitales globales elliptiques. Ce théorème a été découvert par Ngô et c’est la clef de sa démonstration du lemme fondamental de Langlands-Shelstad. Si le temps le permet, on expliquera comment on peut généraliser ce théorème de densité à d’autres intégrales orbitales globales.

Courbes entières, points rationnels et équations différentielles algébriques

Jean-Pierre Demailly

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Nous expliquerons comment l’étude des points rationnels des variétés algébriques amène naturellement à étudier les « courbes entières » tracées dans une variété algébrique lisse, c’est-à-dire les courbes paramétrées par des fonctions holomorphes définies sur tout entier, et satisfaisant une ou plusieurs équations polynomiales.

L’objectif de l’exposé sera de présenter une introduction élémentaire à un résultat récent, stipulant que si le degré des équations est suffisant (en un certain sens), alors de telles équations doivent satisfaire de multiples équations différentielles algébriques.

Holomorphicité discrète et invariance conforme en physique statistique planaire.

Hugo Duminil-Copin

Hugo

La compréhension de la physique statistique planaire a été métamorphosée dans la dernière décennie grâce aux travaux de Kenyon, Lawler, Schramm, Smirnov et Werner pour ne citer qu’eux. Dans cet exposé, je me propose de présenter le rôle crucial joué par la notion d’holomorphicité discrète dans ces progrès. Nous insisterons également sur les connections entre la physique statistique planaire, la combinatoire, les systèmes intégrables, les probabilités et la physique mathématique.

Nous introduirons la notion d’observable parafermionic dont l’holomorphicité discrète (partielle) permet d’estimer le nombre de marches auto-évitantes dessinées sur le réseau hexagonal, ou de comprendre les transitions de phase dans les coloriages aléatoires du réseau carré. Ces deux exemples illustrent un programme plus général, dont les applications ne se résument pas à ces deux résultats. Par exemple, l’holomorphicité discrète de cette observable permet également de montrer l’invariance conforme du modèle dans certains cas particuliers.

Nous introduirons les notions d’holomorphicité discrète, d’invariance onforme, de transition de phase, etc… En particulier, aucune connaissance de ces domaines n’est requise pour suivre cet exposé.

On rolling surfaces

Robert Bryantbryant02

Many problems in mechanics and control theory involve motion planning when there are constraints on how the objects can move in configuration space. For example, wheels, balls, or more general shapes that roll over a surface without twisting or slipping move in a configuration space in such a way that motion is only possible in certain directions and not in others. Developing methods to effectively control such motions turns out to have surprising connections with differential geometry, and (in an insight that is originally due to Élie Cartan) even with the 14-dimensional exceptional group now known as \(G_2\).
In this talk, I will explain some physical motivation and history of this kind of problem, including some recent surprising results recently due to Nurowski and An showing that exceptional geometry can show up in a simple mechanical system in some very unexpected ways.

Le groupe des transformations holomorphes f(z) = az + bz^2 + . . .

Dominique Cerveau

Ce groupe intervient dans l’étude qualitative des équations différentielles ordinaires. Nous decrirons à conjugaison près quelques éléments de ce groupe et nous intéresserons à sa struc- ture algébrique (sous groupes nilpotents, résolubles ou libres). Nous présenterons quelques résultats de représentations de « groupes de Poincaré » à valeurs dans ce groupe et nous donnerons quelques problèmes ouverts. Il n’y a pas de prérequis si ce n’est quelques notions élémentaires de fonctions holomorphes.

Mouvements browniens, cocycles et percolation stationnaire

Yves Derriennic

Une trajectoire du mouvement brownien est une fonction continue dont les variations sont soumises à un maximum de hasard. Un sens précis est donné à cette assertion par la construction de la mesure de Wiener fondée sur la renormalisation d’une marche aléatoire sur les entiers. Cette méthode permet une approche intuitive des propriétés remarquables du brownien : variation totale infinie et différentiabilité fractionnaire des trajectoires, ensemble des zéros « parfait » et de dimension de Hausdorff 1/2. . .

Sur le plan ou l’espace euclidien, des mouvements browniens « à plusieurs paramètres » ont été définis en tant que processus Gaussiens. Mais il est aussi possible d’utiliser encore l’idée de renormalisation en l’appliquant à une marche aléatoire « à temps discret multidimensionnel ».

Dans cet exposé nous discuterons les problèmes suscités par ce point de vue. Certains sont de nature algé- brique, d’autres relèvent de la percolation stationnaire. Nous rappellerons pour commencer les éléments sur le mouvement brownien ordinaire.

Algèbres amassées et grassmanniennes

Bernhard Keller

Nous présenterons la définition et les premiers exemples des algèbres amassées (cluster algebras) introduites par Fomin et Zelevinsky en 2002. Nous montrerons ensuite comment les générateurs canoniques de ces algèbres peuvent s’exprimer à l’aide d’objets géométriques qui généralisent les grassmanniennes. Ces expressions ont permis de montrer une série de conjectures sur les algèbres amassées.

Solutions sans aucune symétrie pour certains problèmes issus de la physique et de la géométrie

Frank Pacard

L’étude des surfaces à courbure moyenne constante dans l’espace euclidien de dimension 3 et l’étude des ondes stationnaires pour l’équation de Schödinger non linéaire qui sont définies dans le plan sont a priori des problèmes qui n’ont pas grand chose à voir. Pourtant, on peut construire pour ces deux problèmes de surprenantes solutions dont le groupe de symétrie est réduit à l’identité et les constructions sont curieusement très proches.

Institut Elie Cartan de Lorraine